Números complejos

En primer lugar, diremos que vamos a analizar el uso de números complejos para la electrónica
de manera práctica desde el punto de vista aplicativo y no matemático.

Números imaginarios

Los números imaginarios surgen para explicar operaciones matemáticas que no tienen solución en los reales (definición matemática ni me pregunten) por ejemplo surgen de hacer la raíz de índice par de un numero negativo, Por ejemplo:

Lo que se encuentra junto al dos es una i la cual denota que el resultado es de tipo imaginario

Números complejos

Los números complejos están compuestos de una parte real y una parte imaginaria y son usados en electrónica para representar magnitudes desfasadas mediante algo conocido como fasores concepto que desarrollaremos más adelante.

Básicamente hay que saber que las rectas numéricas de los números imaginarios y reales están desfasadas en 90° y que se puede construir con ellas un plano cartesiano.

Vamos a verlo con varios ejemplos.
Vamos a representar el número complejo Z1

La parte real del número complejo es 2, luego desde el punto 2 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es -4, por lo que desde el punto -4 del eje imaginario trazamos una línea horizontal.

El punto donde se corten ambas líneas, será el extremo del número complejo, llamado afijo:

Representamos ahora el número complejo Z2

Ahora la parte real del número complejo es -5, por tanto, desde el punto -5 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es 3, por lo que desde el punto 3 del eje imaginario trazamos una línea horizontal. Nos queda:

Por último, vamos a representar el número Z3

La parte real del número complejo es -1, por tanto, desde el punto -1 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es -4, por lo que desde el punto -4 del eje imaginario trazamos una línea horizontal.

El punto donde se unen ambas líneas nos da el extremo del número complejo Z3

Forma polar de un número complejo

Es la representación de un numero complejo por dos magnitudes polares Modulo y Angulo.

Modulo es la distancia entre el 0 del plano cartesiano y el numero en cuestión y se denota como: r

Argumento es el Angulo que forma la recta de distancia del módulo y el eje real del plano cartesiano y se denota como α.

El ángulo que forma el número complejo con el semieje positivo del eje x, medido siempre en sentido contrario de las agujas del reloj.

El número complejo en forma polar, se representa de la siguiente forma:

Ejemplo varios de la representación polar:

En este caso, el módulo, es decir, la longitud del vector es 2 y forma un ángulo de 60o con el
semieje positivo del eje x:

Otro ejemplo:

En este caso, la longitud del vector es 4 (date cuenta que el doble de largo que el anterior) y
forma un ángulo de 135o con el semieje positivo del eje x:

Ultimo ejemplo

En este caso, el módulo es 3 y forma un ángulo de 240o:

Como ves, para representar números complejos en forma polar, dibujamos directamente su longitud y su inclinación nos la da el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x. No es necesario unir dos puntos como cuando se representan en forma binómica.

Sin embargo, aunque el número complejo esté en forma binómica o en forma polar, su representación debe ser la misma, ya que el número complejo es el mismo, solo que expresado en dos formas diferentes.

PASAR UN NÚMERO COMPLEJO DE FORMA BINÓMICA A FORMA POLAR

Partimos de un número complejo en forma binómica: Z1 = a + b1

Al representarlo, tomando su parte real en el eje real y su parte imaginaria en el eje imaginario, queda de la siguiente manera:

Tal y como tenemos la representación este número complejo, la longitud que mide corresponde al módulo y el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x, corresponde al argumento:

Por tanto, podemos calcular el módulo a partir de las componentes del número complejo en forma binómica, mediante la siguiente fórmula:

Esta fórmula se obtiene mediante Pitágoras, con el triángulo rectángulo que se forma con el vector, el eje x y la línea vertical que dibujamos desde el punto a.

Por otro lado, podemos calcular el argumento mediante la tangente de ese ángulo, ya que conocemos lo que miden cada uno de los catetos de ese triángulo (el cateto contiguo mide b y el cateto opuesto mide a). Por tanto:

Esta fórmula no nos da directamente el valor del argumento, ya que tenemos dos posibles valores que se diferencian en 180o y que tienen la misma tangente.

Para saber cuál de los dos ángulos es el correcto, tenemos que representar el número complejo, lo cual nos permitirá saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo.

EJEMPLOS:

Pasar el siguiente número complejo en forma binómica a forma polar:

En primer lugar calculamos el módulo con la fórmula:

Sustituimos «a» por -4 que es la parte real y «b» por 3, que es la parte imaginaria:

Y realizamos la operación:

El módulo es igual a 5.

Ahora vamos a calcular el argumento, con la fórmula:

Sustituimos a y b, por -4 y 3 respectivamente:

Hemos obtenido un posible valor del argumento. Vamos a ver si es el correcto o no a continuación:

Representamos el número complejo:

Representar el número complejo, nos permite saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo que buscamos.

El ángulo correcto está en el segundo cuadrante, mientras que el ángulo de -36,86o obtenido está en el cuarto cuadrante.

Para hallar ese ángulo correcto, sólo tenemos que sumar 180o al ángulo que hemos obtenido.

Si te das cuenta, ambos ángulos tienen la misma tangente (puedes comprobarlo con la calculadora):

En general, los ángulos que se diferencian en 180o tienen la mima tangente.

Por tanto, el número complejo anterior expresado en forma polar es:

EJERCICIOS:

Representar de manera polar los siguientes números complejos.

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