Álgebra de Boole y simplificación de ecuaciones lógicas

Repasamos un poquito lo expuesto en temas anteriores, las reglas del álgebra de Boole muy útiles de ahora mas, para simplificar nuestros circuitos lógicos, por ejemplo, el siguiente circuito, nada diferente de lo que ya vimos:

Y su tabla de verdad:

Tabla de verdad de AB + A(B+C) + B(B+C)

Aplicando los teoremas, obtenemos la función simplificada, que por supuesto tiene la misma tabla de verdad:

Arriba, ecuación lógica original, abajo, resaltada en naranja, la expresión obtenida luego de aplicar teoremas de Boole

La tabla de verdad, si la simplificación es correcta, tiene que ser idéntica:

Tabla de verdad de B + AC

Y el circuito lógico para esa ecuación:

Circuito lógico simplificado equivalente

Como verán, tanto la ecuación como el circuito lógico resultantes obtenidos se implementan con el menor numero de compuertas posibles y son equivalentes entre sí.

Propiedades del álgebra de Boole

y por supuesto, hay algunas reglas útiles que se pueden aplicar en la simplificación:

Ejemplo

Se va a simplificar la siguiente expresión aplicando las leyes booleanas mencionadas:

E = (X ∙ Y ∙ Z) + (Y ∙ Z) +(X ∙ Y)

Es posible aplicar la ley asociativa y la ley fundamental de que A ∙ 1 = A:

E = X ∙ (Y ∙ Z) + 1 ∙ (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Ahora es posible factorizar el termino (Y ∙ Z):

E = (X + 1) ∙ (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Dado que A + 1 = 1 según las leyes fundamentales por lo tanto X + 1 = 1:

E = 1 ∙ (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Al realizar la operación tendremos ya simplificada la expresión:

E = (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Aún podemos simplificar la expresión al factorizar Y:

E = Y ∙ (Z + X)

Esta simplificación se debe comprobar con las respectivas tablas de verdad:

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