Álgebra de Boole, leyes fundamentales

El Álgebra de Boole una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole. El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital. Por lo tanto, también se llama como “Cambio de álgebra”. Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como “Leyes del álgebra de Boole”.

Leyes fundamentales del Álgebra de Boole

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

Entonces, para toda variable A,B,C que pertenece al conjunto de álgebra de Boole se cumple que:

  • Ley conmutativa: A + B = B + A y A • B = B • A
  • Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C y A • (B • C) = (A • B) • C
  • Ley distributiva: A + B • C = (A + B) • (A + C) y A • (B + C) = A • B + A • C
  • Ley de idempotencia: A + A = A y A • A = A
  • Ley de involución: (A’)’ = A
  • Ley de absorción: A + A • B = A y A • (A + B) = A
  • Ley de De Morgan: (A + B)’ = A’ • B’ y (A • B)’ = A’ + B

Ley conmutativa: La ley conmutativa de la adición para dos variables se describe algebraicamente como: A + B = B + A
Esta ley establece que no importa el orden en el que las variables estén disyuntivadas. En la terminología del álgebra booleana, aplicada a los circuitos lógicos, la adición y la operación OR son lo mismo: A B = B A.

Ley asociativa: La ley asociativa de la adición para tres variables se escribe algebraicamente como sigue:

A + (B + C) = (A + B) + C

Esta ley establece que en la disyunción de varias variables, el resultado es el mismo, sin importar el agrupamiento de las mismas.

Ley asociativa de la adición

Ley asociativa en la multiplicación para tres variables se escribe como lo siguiente:

A(B C) = (A B) C

Esta ley establece que, al juntar varias variables no importa el orden en la que estas se agrupen.

Ley asociativa de la multiplicación

Ley distributiva: La ley distributiva para tres variables se describe como siguiente A (B+C) = A B + A C
Esta ley establece que al disyuntivar varias variables y conjuntiva el resultado con una sola variable es equivalente a conjuntivar la variable sola con cada una de las varias variables y disyuntivar los conjuntos.

Ley distributiva para tres variables

Teoremas de DeMorgan: Los teoremas de DeMorgan demuestran la equivalencia entre las puertas NAND y negativa – OR, y las puertas NOR y negativa – AND.

El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.

(X1 + X2 +…..+ Xn)’ = X1’ · X2’ · ….. · Xn’

En el caso de dos variables se tiene,

(X + Y)’ = X’ · Y’

Funciones lógicas, tabla de verdad.

La función lógica S, es una expresión algebraica en la que se relacionan las variables independientes (A,B,C…) mediante las operaciones lógicas.

Por ejemplo:

La forma más simple de definir una función lógica es mediante su tabla de verdad. Consiste en establecer todas las posibles combinaciones de las variables independientes en forma de tabla, e indicar el valor de S para cada una de ellas. El número total de combinaciones es 2n, siendo n el número de ellas.

El primer paso en resolución de circuitos lógicos es la obtención de la tabla de verdad y posteriormente obtener la función lógica a partir de esta. A continuación se muestra como obtener la función a partir de la tabla de verdad.

Por ejemplo:, una función lógica de tres variables puede ser:

Se puede obtener de dos formas, como suma de productos (Minterms) o como producto de sumas (Maxterms).

Por ejemplo:

Para obtener la función en suma de productos (Minterms) se opera de la forma siguiente:
Se deben tomar todas las combinaciones posibles de las variables donde la función tiene como valor “1”, asignado el nombre de la variable cuando vale “1” y en nombre negado cuando vale “0”, multiplicando las variables de una combinación. Y se suman todos los términos obtenidos de esta manera.

Por ejemplo,en la tabla de verdad anterior tenemos:

Para obtener la función en productos de sumas (Maxterms) se opera de la forma siguiente:

Se deben tomar todas las combinaciones posibles de las variables donde la función tiene como valor 0, asignado el nombre de la variable cuando vale 0 y en nombre negado cuando vale 1, sumando las variables de una combinación. Y se multiplican todos los términos obtenidos de esta manera.

Por ejemplo,en la tabla de verdad anterior tenemos:

Con el único objeto de no complicar demasiado el tema sólo se va a tratar la obtención de funciones y su simplificación por Minterms (suma de productos).

Simplificación de funciones

Tal como obtenemos una función a partir de la tabla de verdad, no se trata de la expresión más reducida de la misma. Por lo que se hace necesario simplificarla.

Cuanto menor es el tamaño de la función, es más rápida su resolución y el coste económico de implementación también es menor.

Simplificación mediante propiedades

Se trata de aplicar las propiedades y teoremas del álgebra de Boole para obtener una función más reducida.

Para explicar este método lo mejor es emplear una función como ejemplo:

a) Primero agrupamos términos en parejas que tengan el mayor número de variables iguales. Se puede utilizar el mismo término varias veces si es necesario. Propiedad distributiva.

Esta ya es la expresión simplificada de la función inicial. Generalmente es necesario aplicar más
propiedades hasta llegar a ella.

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